Варианты различаются стилистически: закрыть дверь – нейтральный, замкнуть дверь – разговорно-просторечный.
Предложение корректно.
Эти слова могут употребляться как синонимы. Разница такова: намокнуть - стать мокрым; промокнуть - стать мокрым насквозь, изнутри; вымокнуть - стать мокрым целиком.