На качелях обычно качаются, на каруселях - катаются.
Да, это грамотное выражение, его можно использовать (в том числе в СМИ).
Правильно: кидаться. Слова кидаться нет в русском языке.
Верно: удаться.
Запятая нужна: Не знаю, куда податься.
Использование кавычек факультативно.
Никакие знаки препинания (кроме точки в конце) в этом предложении не нужны.