Вариант высыпятся возможен, но носит разговорный характер. Нейтральный вариант — высыплются. См., например, «Большой толковый словарь русского языка».
Приставочные (и приставочно-постфиксальные) глаголы относятся к тому же типу спряжения, что и бесприставочные глаголы, от которых они образованы. Поэтому для того, чтобы определить тип спряжения глагола выспаться, надо определить тип спряжения глагола спать. Это глагол с ударными личными окончаниями (спишь, спим, спят), тип спряжения у таких глаголов определяется по окончаниям. Как мы видим, спать – глагол второго спряжения, поэтому глагол выспаться тоже относится ко второму спряжению, а следовательно, правильно: выспишься.
Знаки препинания расставлены верно.
Приставка недо- со значением неполноты, недостаточности действия или признака, пишется слитно, напр.: недоговорить, недоедать, недоразвитый; но ср. сочетания частицы не и глагола с приставкой до-, напр.: не договорить, не доесть, не добежать, не докричаться.
Глагол наспаться, как ни странно, тоже существует и может использоваться в значении "полностью утолить потребность во сне". При этом глагол выспаться употребляется существенно чаще и имеет значение "проспав достаточно долго, хорошо отдохнуть". Вероятно, дело в том, что можно выспаться (чувствовать себя бодрым), но при этом не полностью утолить потребность во сне (желать поспать еще немного).