Слово "проблемы" может использоваться в разговорной речи в значении "трудности", поэтому оказывается возможным и сочетание "испытывать проблемы". Но оппонент прав в том, что в стилистически нейтральном или научном тексте такое сочетание неуместно.
Да, можно.
Верно: ...такие эмоции, как гнев, страх, печаль или утрата.
Выпадывать - т. е. "изредка выпадать"? Такая форма неудачна.