Обе конструкции просторечны.
Верно: учиться этой специальности, обучаться по специальности, приобретать специальность.
В разговорной речи такая конструкция возможна. Однако нормативно: проводится конкурс для вручения премии, проводится церемония вручения премии.
Верен первый вариант.
Нет, верно: начать учиться читать.
"Заручиться мнением" нельзя. Можно ссылаться на чье-либо мнение.
Правильно: мучиться (неопределенная форма); мучится и допустимо в разговорной речи мучается (форма 3-го лица ед. числа).
Запятая нужна.