По основному правилу следует ставить двоеточие. На практике вместо двоеточия часто пишут тире.

Следует писать раздельно: общественно активный.

Сочетание не зафиксировано в академическом орфографическом словаре. Корректно раздельное написание по образцу подобных словарно закрепленных сочетаний, ср.: биологически активный, вулканически активный, оптически активный, политически активный, творчески активный, фармакологически активный, экономически активный.

Правильно: социально активный.

Следует писать раздельно.

Словарной фиксации нет. Корректно дефисное написание.

Нет, эти слова имеют разные значения, хотя в ряде контекстов могут быть синонимичны.

Слово наоборот является вводным и обособляется: Я, наоборот, активен.

Корректно: общественно активный (раздельно). Ср.: общественно значимый, общественно опасный, общественно полезный.

Раздельное написание используется всегда, когда реализуется значение "для общества, в обществе". Если же реализуется значение "общественный и еще какой-то", то слово пишется через дефис: общественно-культурный, общественно-исторический, общественно-политический. Заметим, что в таком случае (при дефисном написании) компоненты слова можно поменять местами (культурно-общественный, историко-общественный) или соединить союзом И (общественный и культурный, общественный и исторический).