Если речь идет о государствах, то нужно писать с заглавной буквы.
В Ваших примерах слова восток и запад нужно писать со строчной буквы. Заглавная буква в этих словах возможна при употреблении их в других значениях, см. Восток и Запад.
Восток в значении 'страны Азии' пишется с прописной буквы. Правильно: кухня Востока.
Верно: с Украины, с Дальнего Востока.
Официальное зарегистрированное название: «Восток Ойл».
Можно и так сказать.
Обособление не требуется.
Правильно: с Дальнего Востока.