Правильно: прошла половина лета.
Это некорректное сочетание. Половина не может быть большей или меньшей. Правильно: большую часть.
Предпочтителен первый вариант.
Верно: половина людей уверена.
Сочетание последная половина о веке, годе употреблялось в прошлом, сейчас привычно вторая половина.
Возможны оба варианта.