Верно: не возражать против подключения.
Можно возражать против чего-л. и на что-л.
Гласные в корне непроверяемые. Удостовериться в этом можно здесь.
Такая формулировка не вполне удачна.
Лучше так. Стремились подражать: хорошо одевались, проводили отпуск на даче...
Возражать против чего-либо – верное управление. Фраза корректна.