Корректно написание без кавычек.
Кавычки не нужны: взвесить все за и против.
Нет, такое употребление неправильно. Глагол завесить в русском литературном языке имеет только одно значение: «то же, что занавесить: закрыть, скрыть, повесив что-либо».
Верно: взвесить все за и против (с буквой Е, без кавычек).
Верно: взвесить.