О флаге пиратов корректно: «Веселый Роджер».

В любом случае весело не может быть глаголом. В приведенных примерах можно считать это слово предикативом.

АЙДА. [тат. айда]. Разг. I. межд. Употр. как решительный призыв, приглашение отправиться куда-л. Ребята, а. за яблоками! А., мужики, домой. II. нареч. в функц. сказ. Обозначает быстрое перемещение куда-л. Сел на машину - и а. в город! Наберём полные карманы каштанов - и а. обратно. 

Возможны оба варианта, но с разными оттенками значения. В значении 'отнюдь не весело, вовсе не весело' – раздельно. В значении 'совершенно, очень невесело' – слитно.

Да, это предложение. На вопрос «Почему?» в школе обычно отвечают так: оно содержит законченную мысль, выражает сообщение. В науке предложение определяется прежде всего через понятие предикативности. Весело теплой весной – предложение, т. к. содержит предикативную основу, обладающую значением времени и реальности происходящего.

Возможны варианты написания. Раздельно - при подчеркивании отрицания.

Да, запятые поставлены правильно. Слова должно быть  в значении 'вероятно, наверное, возможно' являются вводными и обособляются.

Верно: В игру "Веселая катапульта" были внесены... В непринужденной разговорной речи допустим вариант: В "Веселую катапульту" были внесены... Название игры обязательно заключается в кавычки.

Верно: Я приехал в город Москву.

Возможны оба варианта, но с разными оттенками значения. В значении 'отнюдь не, вовсе не' – раздельно.