Верно: Верх-Нейвинский.
В первом случае кавычки обязательны. В последующих вариантах постановка кавычек зависит от конкретного названия.
Прилагательное от Ростов-на-Дону – ростовский, от Комсомольск-на-Амуре – комсомольский и (в официальных названиях учреждений, организаций) комсомольский-на-Амуре, например: Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет.
Правильно: открытому акционерному обществу «Племенной завод "Такой-то"».
Корректно: филиал "Завода", филиала "Завода", филиалу "Завода".
Корректно: Посетили экскурсии в парке «Патриот», на заводе...
Возможны оба варианта. Предпочтительно: все цехА.
Корректно: ОАО «Новосибирский завод»; если речь идет о новосибирском филиале какого-либо ОАО – новосибирский завод ОАО «...».