Грамматически верно: она станет верховным судьей. Юридически: станет Председателем Верховного суда.
Написание зависит от того, относится ли слово цеховой к существительному врач или к словосочетанию врач-терапевт. В первом случае используется тире, во втором - дефис.
Согласно орфографическим правилам и словарной кодификации верно: Верховный суд Республики Башкортостан. Однако в «Справочнике по оформлению правовых актов в Администрации Президента Российской Федерации» зафиксировано написание Верховный Суд Республики Башкортостан. Это дает основание различать написание в официальных нормативных правовых актах и в других сферах.
К адъективному склонению. Подробнее см. в разделе Склонение существительных в учебнике Е. И. Литневской.
Да, название этой должности пишется с прописной буквы.
Во всех случаях верно: цеховой.
Правильно: Верховная рада.