Корректно: вверить жизнь кому? врачу.
Можно проверить при помощи однокоренного слова - посвЕркивать.
Запятая не ставится.
Пунктуация верна.
Слово сверчок состоит из корня и нулевого окончания. Исторически связано с глаголами сверкать, диалектным сверчать 'стрекотать' (о сверчке). Информация доступна здесь.