Верно: аюрведа. Остальные аюрведические термины тоже уместно писать со строчной буквы, хотя нормативной рекомендации нет.
Кавычки не нужны. Название, написанное латиницей, можно привести в скобках, если оно необходимо для идентификации.
См. в «Письмовнике».