Правильно: Барак Обама. Обоснование см. здесь.
Правильно: Чикобаве (если в именительном падеже Чикобава), Чикобаву (если в именительном падеже Чикобав).
Варианты наверно и наверное равноправны.
Корректно: обамомания.
Нет, эти слова имеют разные корни и разное происхождение.