Правильно: чижиковский характер (от фамилии Чижиков).
Оба варианта правильны.
Это сочетание корректно.
Это выражение корректно и зафиксировано в словарях. Слово носить здесь используется в значении "характеризоваться чем-либо, свидетельствовать о чём-либо".
Запятая не ставится.