Корни АУ и БАЮ.
Да, это возможно.
Кажется, что в этом сочетании неверно употребление прилагательного везучий. Его значение таково: "такой, которому сопутствует удача, везение; удачливый". Иначе говоря, везучим может быть только человек.
Общеупотребительно и стилистически нейтрально: убрать в квартире. В разговорной речи вполне допустимо и убраться в квартире. О том, почему глагол убраться не нарушает норму русского языка, см. в ответе на вопрос № 254328.
Вы разбираете это слово по составу; это не морфологический разбор.
См. ответ 274517.
Все названные Вами варианты верны.