Верно: борщовый.
Если это сочетание употребляется в прямом значении (набор для приготовления борща), кавычки не нужны. Если имеется в виду список продуктов, по росту цен на которые определяют уровень инфляции, кавычки уместны.
Написание строчными буквами корректно.
См. в учебнике С. Г. Бархударова «Правила русской орфографии и пунктуации».
В методических журналах преобладает написание со строчных букв: комната боевой славы. Такого написания и следует придерживаться.
Эти сочетания пишутся строчными буквами.
Правильно: борщовый набор.
Верно слитное написание.