Кавычки не требуются: борьба самбо, борьба дзюдо.
Словари фиксируют варианты сочетаемости: бороться с чем, бороться против чего. Аналогично: борьба с чем и против чего. Но все же более употребительно: борьба со злом.
Аббревиатура склоняется: борьба со СПИДом.
Запятая не ставится.
Разве это задание нельзя выполнить, прочитав учебник?
Фраза неудачна, лучше ее перестроить. Например: Инициатива борьбы с коррупцией должна исходить...