Слово болгарка в значении 'инструмент' разговорное. В строгих формах письменной речи кавычки уместны. В других текстах, если понятно, что имеется в виду инструмент, кавычки не нужны.
Корректно через дефис: сотрудница-болгарка.
Верно без предлога: богата чем.
Правильно: вода течет из сливного бачка.
Эти фамилии склоняются (и мужские, и женские).
Корректно: морская собачка-павлин, морской собачки-павлина, морской собачке-павлину, морскую собачку-павлина, морской собачкой-павлином, о морской собачке-павлине.
Запятая перед чем не нужна: писатель считает, что чем больше человек дает людям, тем богаче он сам как личность.