Все три варианта возможны с точки зрения грамматики.
Верно: самозанятый.
Написание зависит от контекста. В публицистике можно писать строчными буквами. Если имеется в виду официальное название документа (в деловой речи), то первое слово пишется с прописной.
Запятая не нужна. Запятая не ставится в сложносочиненном предложении, если в его состав входят вопросительные предложения.
Сказуемые используются в форме единственного числа, поскольку числительное в составе подлежащего заканчивается на один. Вы написали верно.