Нормативны оба варианта, а вот относительно предпочтительности одного из них в словарях согласия нет. Большинство словарей по-прежнему полагают более предпочтительным вариант берёста, а другие считают наоборот
Это не однокоренные, но этимологически родственные слова.
Правильно: в Бресте, в г. Бресте.
В таких предложениях это частица. Частицы, как и все служебные слова, не являются членами предложения.
Верно: Бресте. См. в «Письмовнике».
Такое употребление некорректно. Правильно: это занимает время.