Выбор предлога зависит от значения: в Бахрейне (в государстве), на Бахрейне (на острове).
Верно: пойти в бассейн. В разговорной речи в значении "начать заниматься в бассейне" - пойти на бассейн.
Возможны варианты: с мягким [c'] и твердым [с]. Первый вариант предпочтительнее.
Правильно: в бассейн.