В таких случаях наречие пишется с двумя дефисами: по-нью-йоркски, по-нью-орлеански...
Если банк называется «Москва», правильно: управляющему банком «Москва». Если имеется в виду «Банк Москвы», правильно: управляющему «Банком Москвы».
Сочетание корректно. См. словарную статью «Наркоз».
Предпочтительно в большинстве контекстов: управляющая банком.
Пожалуйста, приведите фразу полностью.
Если названия написаны кириллицей, то они пишутся в кавычках с большой буквы. Если латиницей - без кавычек.