Корректно: рубленый, на студеном ключе колодец. Полагаем, что на студеном ключе не является зависимым словом к отглагольному определению.

Названия, написанные латиницей, кавычками не выделяются. Использование прописных букв тоже служит достаточным средством выделения и кавычек не требует. В случае написания кириллицей названия серии с первой прописной буквы следует использовать кавычки: серия «Баба», серия «Баня».

Нормативными словарями современного русского языка это слово не зафиксировано. В практике письма оно чаще употребляется как существительное женского рода (по родовому бочка, баня, купель), однако может восприниматься и как слово среднего рода (по аналогии с подавляющим большинством несклоняемых заимствований на -о). 

Прилагательное финский широко употребляется в русском языке в знач. 'относящийся к финнам, их языку, национальному характеру, образу жизни, культуре, а также к Финляндии, ее территории, внутреннему устройству, истории; такой, как у финнов, как в Финляндии': финский язык, финская баня, финский нож, финский дом, финские товары. Прилагательное финляндский существует, но встречается значительно реже и употребляется, как правило, в тех случаях, когда подчеркивается, что речь идет о государстве Финляндия, например: финляндское законодательство, Российско-финляндский культурный форум. Чаще это прилагательное встречается в официально-деловом языке, в живой речи оно не всегда будет уместно. Систему, работников и товары в живой речи лучше всё же было назвать финскими.

Существительное хаммам склоняется. 

Правильно: хаммам (баня). См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. М., 2012.

Предложение составлено таким образом, что с помощью знаков препинания сложно подчеркнуть, на какое слово падает логическое ударение. Можно перестроить предложение (например: ...покажу, что такое настоящая баня) или выделить слово что курсивом, как иногда делают в художественных текстах.

Думаем, что так сказать нельзя.

Кавычки не нужны.

Обычно как прилагательное к Финляндия употребляется слово финский: финский язык, финская баня, финский нож; слово финляндский встречается значительно реже и употребляется обычно, когда речь идет о государстве Финляндии, например: финляндское законодательство.