Аббревиатура БАМ склоняется. Правильно: я побывал на БАМе.
Единственное основание для склонения этой аббревиатуры – сложившаяся устойчивая традиция, связанная с широкой употребительностью данного слова. Других причин просто нет.
О склонении аббревиатур читайте в "Письмовнике".