Какого — форма родительного падежа местоимения какой или какое, заменяющего полное прилагательное: Какого человека (слова) здесь не хватает? Каково — местоимение, заменяющее краткое прилагательное среднего рода: Каково расстояние между этими городами?; Она делится тем, каково это — быть директором. Кроме того, слово каково может быть наречием.
Эта форма неверна, ее не следует употреблять. Верно: туфель.
Второй вариант лучше.
Нормативной рекомендации нет, однако употребительно согласование в женском роде (с несклоняемой первой частью).
Это слово мужского рода (см. в окне «Искать на Грамоте»).