Мужская фамилия Бажан склоняется. Корректно: Артёму Бажану.
Правильно: Чикобаве (если в именительном падеже Чикобава), Чикобаву (если в именительном падеже Чикобав).
Части предложения нужно разделить запятой: Ни в городе Богдан, ни в селе Селифан.
Следует писать с тире: банан – черника.
Верно: Им задан был вопрос: "Что для женщины является приоритетом?"
Верно: предоставить отпуск Будаю.