Трудно дать однозначный ответ, не зная контекста. Если это прозвище доктора, которое функционирует как имя (в том числе, например, имя персонажа художественного произведения), правильно писать оба слова с прописных, например: «Вот и всё», — сказал Умелые Руки, закончив перевязку. Если же речь о том, что доктор умелец, корректно строчными, например: Василий у нас доктор «умелые руки», советую к нему обратиться. Ср. также: доктор у нас умелые руки.
Вопрос непонятен: существительное токарь мужского рода и глагол подумал мужского рода. В чем противоречие?
Правильны оба сочетания.
В разговорной речи такая фраза допустима, если имеется в виду лицо женского пола (ср. врач подумала).
Ударение на первом слоге.
Воспользуйтесь, пожалуйста, ресурсом «Проверка слова».
Корректно сокращение д. т. н.
Уместно множественное число существительного при двух приложениях: соусы тартар и барбекю.
