Существительное ара 'попугай' несклоняемое. Правильно: мы повстречали голубого ара.
Имя Ара склоняется по модели папа: папы Ары, папе Аре, папу Ару и т. д.
Орфографический словарь
Верно: арт-винил.
Склонять эту аббревиатуру не следует.
Возможны варианты:
дать следующие указания: подключить АРМ...
дать указания: о подключении АРМ...
Словарная фиксация: ар-деко.
Лучше заменить эту конструкцию другим сочетанием. Если это невозможно, то следует писать с двумя дефисами: паблик-арт-программа.
Требуется дефисное написание.
Правильно: ар-деко (зафиксировано в «Русском орфографическом словаре» РАН). Об этом стиле см. подробно в «Википедии».