Правильно по-русски: Большой каньон.
Склоняется. Подробно см. Письмовнике.
Верное написание: Североатлантический альянс.
Корректно: пара Елена Бережная и Антон Сихарулидзе.
Сочетание «фамилия + имя (+ отчество)» более характерно для списков, официальной письменной речи. Лучше порядок фамилии и имени изменить и добавить отчество.
1. Если вы поехали в каньон, чтобы исследовать его изнутри, следует использовать предлог в. Если же вы поехали на каньон, чтобы посмотреть на него сверху или со стороны, следует использовать предлог на.
2. В предложении Природа очень важна в нашей жизни предлог в корректен; возможен также вариант важна для нашей жизни.
Правильно с дательным падежом.