Правильно: Русская православная церковь.
С большой буквы пишется только первое слово: Русская православная церковь.
В обычных текстах: Русская православная церковь. В церковных текстах все слова могут быть написаны с большой буквы.
С большой буквы пишется первое слово: Русская православная церковь.
Написание будет зависеть от типа текста. В церковно-религиозных текстах принято написание Русская Православная Церковь Заграницей. В остальных текстах нужно писать в соответствии с рекомендациями орфографических словарей и справочников: Русская православная церковь за границей.
Да, это название склоняется: церковь в Кижах.
Словарная фиксация: Евангелическо-лютеранская церковь (словарь "Прописная или строчная" В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой и Л. К. Чельцовой, М., 2011).