Правильно: Директору АНО «Центр поддержки предпринимательства "Мой бизнес"».
Кавычки нужны, название организационно-правовой формы пишется с маленькой буквы. Вы написали верно: автономная некоммерческая организация "Международная академия", АНО "МА".
Форма сказуемого должна быть согласована с родом аббревиатуры.