Правильно: Директору АНО «Центр поддержки предпринимательства "Мой бизнес"».
Да, название следует писать в кавычках.
Кавычки нужны, название организационно-правовой формы пишется с маленькой буквы. Вы написали верно: автономная некоммерческая организация "Международная академия", АНО "МА".
К сожалению, не можем дать полный и достоверный ответ. В научных и публицистических текстах, в статьях и монографиях, в перечнях использованной литературы название издательства может быть указано в краткой или свободной форме.
Форма сказуемого должна быть согласована с родом аббревиатуры.