Это неофициальное наименование, но уже вполне закрепившееся. Возможно как написание с прописной буквы (оно покажет, что перед нами название документа), так и со строчной буквы (оно будет прочитываться как официальное название с предшествующим определением).
Правильно: Минобразования Амурской области.
Первое слово официального названия пишется с большой буквы: Министерство образования и науки Амурской области.