Правильно: в Елизове.
Верно такое оформление: муниципальное образование «Город Балаково», депутаты Совета муниципального образования «Город Балаково».
Слово "машинка" будет уместно заключить в кавычки.
См. в «Письмовнике».
Верно: алькова.
О склонении географических названий см. в Письмовнике.
В образцовом литературном стиле: в Балакове, в разговорной речи допустимо: в Балаково. См. «Азбучные истины».
Правильно: в городе Елизово. Если слова город нет, возможны два варианта: в Елизове (предпочтительно) и в Елизово (допустимо).