В образцовой литературной речи склоняются оба названия: мост между Аниковом и Каринским.
Правильно: в Елизове.
Верно такое оформление: муниципальное образование «Город Балаково», депутаты Совета муниципального образования «Город Балаково».
См. в «Письмовнике».
Слово "машинка" будет уместно заключить в кавычки.
Верно: алькова.
О склонении географических названий см. в Письмовнике.