Правильно: смотреть широко открытыми глазами.
Оба варианта корректны.
Нет, такое выражение некорректно.
Выбрать нужно второй вариант, он соответствует фиксации в академическом орфографическом словаре. Но первый ошибочным не будет.
Запятая нужна, а кавычки нет.