Этот глагол не зафиксирован нормативными словарями русского языка, так что «правильного» и «неправильного» варианта нет. На практике используется вариант хайпануть.
Варианты различаются стилистически: закрыть дверь – нейтральный, замкнуть дверь – разговорно-просторечный.
Написание буквы «ы» после буквы «ц» в словах цыган, цыпленок и т. п. является фонетическим (= адекватнофонемным), а принцип орфографии, обусловивший написание «ы», а не «и», – традиционным, применение которого вызвано ограничением слогового принципа русской графики в сфере обозначения твердости/мягкости согласных посредством следующей гласной буквы.