Употребительно: утки плавают в озере.
Названия озер, выступающие в роли приложения, не склоняются: на озере Отрадное.
Географические названия в сочетании со словом озеро обычно не склоняются. Корректно: на берегу озера Наговье.
Правильно: на озере Байкал. Названия озер не склоняются в сочетании с родовым словом озеро. Исключение составляют случаи, когда топоним выражен прилагательным: на Онежском озере.
Правильно: дверями и дверьми.
Верны оба варианта.
Возможны оба варианта, выбор может зависеть от контекста.