Запятая после слова принципами не нужна: союз и соединяет сказуемые не поступались и не шли (на компромисс).

Конструкция кому-чему обязан чем включает два разных дополнения: одно — в дательном падеже, второе — в творительном падеже. Дополнение в дательном падеже обозначает некую причину, некий источник того, что обозначено дополнением в творительном падеже: учителям я обязан своими успехами. Вопрос Чем обязан вашему вниманию ко мне? подразумевает: некто проявил внимание ко мне, но цель такого внимания мне неизвестна. Вопрос Чему обязан вашим вниманием? подразумевает: нечто привлекло ваше внимание ко мне, сообщите причину, источник вашего внимания ко мне. Вспомним Грушницкого и его сетования: «Нет, лучше бы мне век остаться в этой презренной солдатской шинели, которой, может быть, я обязан вашим вниманием...» (М. Ю. Лермонтов. Герой нашего времени). Приведем в качестве иллюстрации еще одну цитату из художественного произведения: «Олег очень хорошо знал, что идеальной семьёй обязан постоянному вниманию к нуждам и настроениям любимых, отличным здоровьем — потогонному тренажу, а отсутствием материальных проблем — добросовестной и упорной работе» (Александр Гаррос, Алексей Евдокимов. Новая жизнь. Святочная повесть).

Правильно: На руководителей возложена почетная миссия – с честью выдержать все испытания и вести коллективы к победе. Женщина стала выгонять визитера, за что и была бита.

Возможные варианты пунктуации, различающиеся по смыслу:

• пожелали ребятам стать настоящими мужчинами, несмотря ни на какие преграды с честью защищать свою Родину;
• пожелали ребятам стать настоящими мужчинами несмотря ни на какие преграды, с честью защищать свою Родину.