В художественном тексте возможно написание строчными буквами.
С прописной следует написать Министерство культуры Украины, Министерство культуры России. А вот "наше министерство культуры" - со строчной.
Написание Министерство здравоохранения соответствует правилу: с прописной буквы пишется первое слово в официальном названии учреждения, организации, предприятия. Функция прописной буквы – не придать «важность» слову, а маркировать имя собственное.
Это зависит от официального названия учреждения.
Слово министерство пишется с большой буквы как первое слово официального названия учреждения: Министерство обороны Украины. Если полное официальное название не приводится, правильно написание строчными, например: в министерстве обороны пояснили...
Сокращенное наименование пишется с той же буквы, что и полное (Министерство природных ресурсов, далее - Министерство).
Более корректен вариант министерством проработан вопрос, так как официально-деловой стиль предпочитает страдательный залог.
Корректно: взыскателю - Министерству...