Лучше написать так: в социальной сети «В контакте» (ср.: в журнале «За рулем»).
Поскольку отрицание относится к вспомогательному (модальному) глаголу, а не к инфинитиву, от которого зависит существительное, это существительное ставится в форму винительного падежа: Он не успел установить контакт с (кем-то).
Вопрос спорный. Говорить о правильности употребления здесь предлога сложно хотя бы потому, что само название ресурса оформлено с нарушением орфографических законов: по правилам русского правописания две прописные буквы подряд в начале слова не пишутся (исключение составляют только аббревиатуры). Лучше избегать сочетания предлога в и названия ресурса и добавлять родовое слово: в социальной сети «ВКонтакте», на сайте «ВКонтакте».
См. ответ на вопрос № 267034.
См. ответ 267034.
Возможно, имеет смысл начать распространять орфографически верное написание? :)
См. вопрос 267034.
Такого сочетания желательно избегать, используя другие предлоги или сочетания. Если избежать не удается, то можно использовать приведенный Вами вариант.
