Правильно: Чеченская Республика. В официальных названиях государств, а также субъектов Российской Федерации слово республика пишется с большой буквы.
Если заголовок набран полностью прописными буквами, тогда нет оснований, чтобы переходить на строчную букву при графическом сокращении слова.
Корректно написание со строчной буквы: южная столица Кузбасса. Это описательный оборот, он пока не воспринимается как образное название.
Да, все так. При этом буква я обозначает два звука: [jа], где j принадлежит основе трамваj-, [а] — окончанию.
Официального написания не существует. Правилами орфографии рекомендуется употреблять букву ё в собственных именах, в том числе в фамилиях.
Судя по всему, здесь передается чья-то устная речь. Если так, то местоимение вы нужно писать со строчной буквы.
Нет, неправильно. С большой буквы пишется только первое слово официального названия (и входящие в состав названия имена собственные).
Лучше сказать: обращайтесь в службу скорой медицинской помощи или вызывайте бригаду... Прописные (большие) буквы здесь не нужны вообще.
После приставок, оканчивающихся на согласную, в корне вместо начального И пишется буква Ы в соответствии с произношением: предытог.
В официальных названиях государств и государственных объединений все слова, кроме служебных, пишутся с прописной буквы: Сирийская Арабская Республика.