Запятая ставится: знали, на что шли.
Правильно: Перечень учреждений, не приславших ответ на запрос.
Вы правы, если перед деепричастным оборотом стоит усилительная частица и, оборот не обособляется: Но этот принцип можно использовать и не проводя конкурса.
Да, можно.
Верно: ...не затем столько лет боролись за свободу слова.
Мы не занимаемся переводами.
Здесь возможны варианты в зависимости от смысла: с еще одной ранее не встречавшейся проблемой (были и другие ранее не встречавшиеся проблемы); с еще одной, ранее не встречавшейся проблемой (до этого о ранее не встречавшихся проблемах речь не шла). Мы не знаем, какой смысл автор вкладывает в предложение, поэтому вряд ли целесообразно вмешиваться в авторский текст.
Верно: ни в какие рамки не укладывается.