Имена прилагательные, образованные от личных имен, фамилий, кличек при помощи суффиксов -ов (-ев) или -ин и обозначающие индивидуальную принадлежность, пишутся с прописной буквы: Катин, Муркины.

Имена прилагательные, образованные от личных имен и фамилий при помощи суффиксов -ск-, -овск- (-евск-), -инск-, пишутся со строчной буквы: байроновские.

Название Паттайя склоняется (Паттайи, Паттайе и т. д.). Заимствованные собственные имена склоняются или не склоняются в соответствии со своими окончаниями по законам русской грамматики. И поскольку в русском языке есть склоняемые имена существительные на -айя (например, папайя или имя собственное Майя), то так же должно склоняться и название Паттайя.

В неспециальных текстах названия сортов растений, овощей, фруктов заключаются в кавычки и пишутся со строчной буквы (в том числе и имена собственные): слива «кубанская легенда», «стенлей».

В специальной литературе в названиях сортов растений, овощей, фруктов, цветов первое слово (и все имена собственные) пишется с прописной буквы: слива Кубанска легенда, Стенлей.

Прилагательное, образованное от нарицательного существительного егерь, пишется без мягкого знака: егерский. Что же касается гидронима (названия водоема), то мягкий знак в нем мог появиться в силу того, что собственные имена подвержены подобного рода графическим и орфографическим изменениям. Наконец, нельзя исключать банальную ошибку.

Словарь "Имена московских улиц" приводит в качестве правильного именно вариант без мягкого знака: Егерский пруд (в Сокольниках).

Женские личные имена и фамилии, оканчивающиеся на согласную, не склоняются. Существуют некоторые исключения из этого правила, например: Любовь, Жизель (героиня балета А. Адана), женские имена библейского происхождения Агарь, Рахиль, Руфь и др. Для некоторых имен допускается вариативное употребление — как склоняемых и как несклоняемых, например: Адель, Нинель. Имя Анель в справочниках личных имен не представлено, по общему правилу склонять его не нужно. 

Выбор написания будет зависеть от того, что называют эти собственные имена, в каком контексте они употребляются. Общая рекомендация такова. Шерегеш и Роза Хутор как названия природных географических объектов или населенных пунктов следует писать без кавычек; если же собственные имена выступают в качестве названия организации, то кавычки нужны. Особый случай — употребление географического названия как части составного наименования. Орфография составного наименования определяется его структурой. 

Вы правы. Женские имена на -ия, в которых я безударное, имеют в дательном падеже окончание И: Марии, Лилии, Виктории. Однако личные имена восточного и иного происхождения, оканчивающиеся на ударное я, имеют в дательном падеже окончание Е: Зульфия – Зульфие, Алия – Алие. Это правило изложено в полном академическом справочнике «Правила русской орфографии и пунктуации» (М., 2006), «Словаре русских личных имен» А. В. Суперанской (М., 2004) и мн. др. источниках.

Вершининская средняя общеобразовательная школа – реальное собственное имя (не условное наименование). Такие имена собственные пишутся без кавычек, например: Вершининская средняя общеобразовательная школа основана в ... году. Однако если реальные собственные имена употребляются в сочетании с родовым наименованием (чаще всего – обозначением организационно-правовой формы), они заключаются в кавычки. Правильно:  МОУ «Вершининская средняя общеобразовательная школа». См. подробно в «Письмовнике»: Как правильно употреблять кавычки (часть вторая).

Иноязычные по происхождению слова, в том числе имена собственные, становятся фактом русского языка и подчиняются законам русской грамматики. Из фамилий, оканчивающихся на -а, которому предшествует согласный, не склоняются только фамилии французского происхождения с ударением на последнем слоге (Дюма, Гавальда). Преимущественно не склоняются финские имена и фамилии, оканчивающиеся на -а неударное (хотя в ряде источников и их рекомендуется склонять). Фамилия Коцина к этим группам несклоняемых фамилий не относится и должна склоняться.