Указанная запятая нужна, так как союз и соединяет части сложносочиненного предложения.
Двоеточие после слова вопрос не требуется, так как формулировка вопроса играет роль приложения при этом слове. Что касается конечного знака, то в пункте 3 параграфа 159 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина указано: «Если перед закрывающей кавычкой стоит знак вопросительный, восклицательный или многоточие (и на этом предложение заканчивается), то те же знаки, необходимые по условиям всего предложения, не повторяются после закрывающей кавычки». По этому правилу пишется: Как бы вы ответили на вопрос «А вы за кого почитаете Меня?»
Обособление нужно: деепричастный оборот, находящийся после союза или союзного слова, отделяется от него запятой (союзы не включаются в деепричастный оборот). Правило приведено в параграфе 68 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.). Об обособлении деепричастного оборота после союза в начале предложения см. «Справочник по русскому языку. Пунктуация» Д. Э. Розенталя, параграф 20.2.
Корректно написание со строчными буквами: главный мышелов правительственной резиденции.
В кавычках приводятся вопросительные предложения, на что однозначно указывают вопросительные слова, и сопроводить их вопросительными знаками вполне уместно; при этом вопросительный знак в конце предложения не повторяется, поскольку он поставлен в конце второго из приведенных в кавычках предложений: В какой момент «Что это за уродство, на кой вы это сюда воткнули?» превращается в «Это вообще-то историческое здание, какого чёрта вы его снесли?»
Сокращение, конечно, неудачное. Желательно заменить его на полное наименование. Но если такой возможности нет, то лучше использовать Ваш вариант.
Как ни парадоксально, правильны оба варианта. Дело в том, что правила правописания и орфографические словари не регламентируют написание большинства собственных наименований (точнее, регламентируется часто только использование кавычек, прописной буквы и - в ряде случаев - слитное, раздельное или дефисное написание).
Однако нужно отметить, что написание с буквой Ж поддерживается такими словами, как сладкоежка, малоежка и сыроежка. Между тем как написание с Ш не имеет опоры на орфографические аналоги (кроме достаточно сомнительной опоры на глагольную форму ешь-ка).
Трудно представить наглядно такую ситуацию. За секунду автомобиль преодолевает какое-то расстояние, не так ли? Какое расстояние?
Запятая между двумя союзами не ставится, поскольку нельзя изъять придаточное предложение из состава сложного предложения.
Правильно: у меня ни чувств, ни страданий.
