Правильно: ФБР арестовало 24 хакера. См. также ответ на вопрос № 265353.
Корректно: подвигло. Слово сподвигнуть отсутствует в литературном языке. См. словарную фиксацию.
Будучи – форма деепричастия от глагола быть. Обороты со словом будучи обособляются.
Правильно: На ста тридцати пяти тысячах объектов. Подробнее см. в «Письмовнике».
В официальном письме: назначен инженер Иванова. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».
О словах есть и кушать см. в «Словаре трудностей».
Правильно: поезжай.
Правильно: экс-министр обороны, экс-начальник железнодорожной станции. См. ответ на вопрос № 282335.
Это словарная лакуна. Слово "объявление" может употребляться со значением глагола "объявиться".
Да, обособление нужно. Подробнее см. в «Справочнике по пунктуации».