Слово топ в значении "рейтинг" склоняется: быть в топе.
Да, здесь должно быть с прописной: Пушкинский Дом. Исправлено. Спасибо за замечание!
Это наречие может быть написано слитно (как вполоборота, вполсилы и т. д.).
Спешил быстро? Может быть, спешил ответить или хотел (старался) ответить быстро?
Первый вариант лучше, поскольку второй может быть прочитан как "почти... в городе".
Может быть, так: в работе круглого стола, КОТОРЫЙ проводится в рамках проекта?
Может быть, просто: направить запрос (и в ответ на запрос получить информацию)?
Слово международный должно быть первым, если оно характеризует собой словосочетание "молодежный проект".
Двоеточие может быть уместно, если необходимо предупредить читателя, что дальше следует перечисление.
Слово министерство должно быть написано с прописной (как первое слово официального названия).
